Disini Bimbel Jakarta Timur akan menjelaskan secara rinci dan jelas tentang Barisan dan Deret. Barisan bilangan itu adalah bilangan yang tersusun menurut aturan tertentu, sehingga suku-sukunya merupakan fungsi dari n, n ∈ bilangan asli
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih atau beda antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Barisan geometri adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan
Barisan Dan Deret Aritmatika
Ciri dari barisan aritmatika adalah beda atau selisih dari dua suku berurutan selalu tetap.
a =suku pertama
b =beda
Un=suku ke-n
Sn=jumlah n suku pertama
 |
| Barisan Aritmatika |
Jika di antara bilangan a dan p disisipkan n buah bilangan dan membentuk sebuah barisan/deret aritmatika, maka beda barisan/deret tersebut adalah: b=(p -a)/(n+1).
Untuk n ganjil, maka suku tengahnya (Ut) adalah : Ut=(a+ Un)/2
Un=Sn - Sn-1
Barisan Dan Deret Geometri
Ciri dari barisan geometri adalah rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
a =suku pertama
r =rasio
Un=suku ke-n
Sn=jumlah n suku pertama
Untuk n ganjil, maka suku tengahnya (Ut) adalah : Ut=√(a.Un)
 |
| Barisan Geometri |
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang penjumlahanya sampai suku tak hingga.
Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen jika -1 < r < 1
 |
| Deret Geometri |
Contoh Soal Dan Pembahasan
1. Tentukan 3 suku berikutnya dari barisan 5, 8, 11, 14,...
Penyelesaian :
Pola barisan bilangan diatas adalah bertambah 3 dari sulu sebelumnya.
Jadi 3 suku berikutnya dari barisan bilangan di atas adalah 17, 20, 23
2. Tentukan 3 suku pertama dari barisan yang ditentukan Un=3n - 5
Penyelesaian :
Substitusi n=1,2,3
Un=3n - 5
U1=3.1 - 5=-2
U2=3.2 - 5= 1
U3=3.3 - 5= 4
Jadi 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah -2, 1, 4
3. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan 5, 9, 13, 14, ...
Penyelesaian :
Suku pertama a=5
Beda barisan=U2 -U1=4
Un=a + (n - 1)b
Un=5 + (n - 1).4=5 + 4n - 4
Un=4n + 1
4. Hitung jumlah 6 suku pertama dari 3, 8, 13, 18,...
Penyelesaian :
a=3, b=5, n=6
Sn=n/2 [2a + (n - 1).b]
Sn=6/2 [2.3 + (6-1).5] =3 (6+25)=3. 31=93
5. Suku ke 3 dan suku ke 7 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 28. Tentukan jumlah 10 suku pertama barisan tersebut!
Penyelesaian :
U3=a + (3-1)b=a + 2b= 8
U7=a + (7-1)b=a + 6b=28 -
-4b=-20
b=5
cara cepat b=U7 - U3
7 - 3
a + 2b=8
a + 2.5=8
a + 10=8
a=8-10=-2
Sn=n/2 [2a + (n - 1).b]
Sn=10/2 [2.(-2) + (10 -1).5]=5 [-4 + 45]=5 . 41=205
6. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn=n² + 3n. Suku kelima barisan tersebut adalah...
Penyelesaian :
Un=Sn - Sn-1 =S5 - S4
=[ 5² + 3.5] - [4² + 3.4]
=[25 + 15] - [16 + 12]
=40 - 28=12
7. Di antara bilangan 9 dan 111 disisipkan sebanyak 33 bilangan, sehingga bilangan semula dan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Tentukan suku kedua puluh satu barisan tersebut adalah....
Penyelesaian :
b=(111 - 9)/ (33+1)=102/34=3
Un=a + (n-1)b=9 + (21-1).3=9 + 60=69
8. Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dirumuskan dengan Sn=n² -3n. Maka suku ke-10 barisan tersebut adalah...
Un=Sn - Sn-1
U10=S10 - S9
=(10² -3.10) - (9² -3.9)
=(100 -30) - (81-27)
=70 - 54=16
9. Tentukan suku ke-n dari barisan berikut 4,12, 36, 108, ...
Penyelesaian :
a=4, r=12/4=3
Un=a.rn-1
Un=4.3n-1
10. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika hasil kali ketiga bilangan adalah 8.000, dan jumlah bilangan terkecil dan terbesar adalah 104. Maka rasio barisan tersebut adalah...
Penyelesaian :
U1.U2.U3=8.000
a.ar.ar²=8.000
a³r³=8.000
(ar)³=20³
ar=20, a=20/r
a + ar²=104
a (1+ r²)=104
20/r (1+r²)=104
20 (1+r²)=104.r
20 + 20r²=104r
20r² - 104r + 20=0..... (:) 4
5r² - 26r + 5=0
(5r -1) (r-5)=0
r=1/5 atau r=5
11. n - 1, n + 2, 3n adalah tiga suku pertama suatu barisan geometri. Jika n adalah bilangan
bulat positif, tentukanlah suku ke-empat barisan tersebut.
Penyelesaian :
ciri barisan geometri adalah rasio, dimana r=U2/U1=U3/U2=U4/U3 ....
maka U2/U1=U3/U2
(n+2)/(n-1)=3n/(n+2).... kali silang
(n+2)(n+2)=3n(n-1)
n²+4n+4=3n² -3n
0=3n² -n² -3n - 4n - 4
0=2n² - 7n -4
0=(2n+1) (n-4)
2n+1=0
n=-1/2 (tidak memenuhi)
n-4=0
n=4 (memenuhi)
maka suku pertama adalah n-1=4-1=3
rasio adalah U2/U1=(n+2)/(n-1)=(4+2)/(4-1)=2
U4=a.r³
=3.2³=3.8=24
12. Suatu barisan geometri terdiri dari lima suku. Jika suku pertama barisan tersebut adalah 4
dan suku terakhirnya adalah 256, tentukan suku ke-3 barisan geometri tersebut.
Penyelesaian :
a=4, U5=256
Un=a.rn-1
U5=a.r4
256=4.r4
r4 =256/4=64
r=∜64
r=2√2
U3=a.r²
=4.(2√2)²
=4.8=32
13. .Diketahui deret geometri 3 + 3² + 3³ + ...+ 3n =363. Banyaknya suku pada deret tersebut adalah...
Penyelesaian :
a=3, r=3, Sn=363
Sn =a(.rn-1)/ (r-1)
363 =3( 3n -1)/(3-1)
363 =3( 3n -1)/2
363.2/3= 3n -1
242 = 3n -1
243 = 3n
n =5
14. Suku ke-2 dan suku ke-5 suatu barisan geometri adalah 14 dan 112. Suku ke enam barisan geometri tersebut adalah...
Penyelesaian :
U2=a.r=14
U5=a.r4 =112
ar.r³=112
14..r³=112
.r³=112/14=8
r=∛8=2
ar =14
a.2=14
a =14/2=7
U6=a.r5
=7.25
=7.32
=224
15. Tiga bilangan membentuk barisan geometri naik. Hasil kali dan jumlah bilangan tersebut berturut-turut adalah 512 dan 28. Suku ketiga barisan tersebut adalah...
Penyelesaian :
Hasil kali adalah 512
U1.U2.U3 =512
(U2/r)(U2)(U2.r) =512
(U2)³ =512
U2 =∛512=8
Jumlah adalah 28
U1 + U2 + U3=28
U2/r + U2 + U2.r=28
8/r + 8 + 8r=28
8r - 20 + 8/r=0 .... (x) r/4
2r² -5r + 2=0
(2r-1)(r-2)=0
2r-1=0
2r=1
r=1/2, atau
r-2=0
r=2
Karena barisan tersebut adalah barisan geometri naik maka r=2
U3=U2.r=8.2=16
16. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 48, sedangkan jumlah suku-suku bernomor genapnya sama dengan 16. Berapakah rasio dari deret geometri tersebut?
Penyelesaian :
Sganjil + Sgenap=S∽
Sganjil + 16=48
Sganjil=48 - 16=32
r=Sgenap =16 =1
Sganjil 32 2
17. Diketahui suatu deret geometri tak hingga 3 + 1,5 + 0,75 ....
Tentukanlah Jumlah tak hingga suku ganjil deret tersebut !
Penyelesaian :
a=3,
r=1,5/3=0.5
Sganjil= a
1 - r²
= 3
1-0,5²
= 3
0,75
=4
18. Pada bulan pertama Daffa menabung sebesar Rp 150.000,00, pada bulan kedua Rp 170.000,00 demikian seterusnya tiap bulan jumlah yang ditabung bertambah Rp 20.000,00. Besar tabungan Daffa setelah 1 tahun adalah...
Penyelesaian :
a=150.000
b= 20.000
n=12 bulan
S12=12/2 (2x150.000 + (12-1) 20.000)
=6 (300.000 + 220.000)
=6 (420.000)
=2.520.000
Jadi jumlah seluruh tabungan Daffa selama 1 tahun adalah Rp 2.520.000,00
19. Seutas tali dibagi menjadi enam potong dengan tiap bagiannya membentuk barisan geometri. Jika potongan terpendek adalah 2 cm dan potongan terpanjang adalah 486 cm, maka panjang tali semula adalah...
Penyelesaian :
a=2
U6 =486
a.r5 =486
2..r5 =486
r5 =486/2=243
r =3
S6=a (r6 -1)
r-1
= 2(36 -1)
3-1
= 2 (729-1)
2
=728
20. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari tempat yang ketinggiannya 1,5 meter. Setiap kali bola memantul, bola mencapai ketinggian yang sama dengan 2/3 dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola sejak dilemparkan sampai terhenti adalah...
Penyelesaian :
 |
| Soal Nomer 20 |
Sturun=1,5 + 1 +2/3 + 4/9 + ...
= a = 1,5 = 1,5 =4,5
1-r 1-2/3 1/3
Snaik=1 + 2/3 + 4/9 +...
= a = 1 = 1 =3
1-r 1-2/3 1/3
Panjang lintasan=Sturun + Snaik=4,5 + 3=7,5 m